共通テスト【数学Ⅱ・B】解法 & 勉強方法
皆さん、こんにちは！ 仙台市の『名門進学会』家庭教師で、東北大学医学部医学科3年の 金子茉央（かねこ まお）です
1. 理解しているか問われる問題が多いので
今日は、大学入試共通テスト【数学Ⅱ・B】で高得点を取るための「解法」&「勉強法」をお伝えします。 共通テストの数学は、ただ問題を解けるかというより理解しているかを問われる問題が多いように感じました。 共通テストらしい傾向です。
どうしてそうなるのかを
この傾向変化に対応するためには、ただ解法を覚えるのではなく、「どうしてそうなるのかを理解する」ようにすると良いかと思います。 普段からそういう練習をしておくと、自ずと共通テストを解くスピードは速くなるはずです。
2. 出題形式
大問5題。
うち第1問と第2問は必答問題・第3問から第5問のうち2問選択
時間60分・満点100点。
3. 試験の解き進め方
A. 何よりも「時間配分」
【数学Ⅰ・A】の対策と被ってしまうのですが、大事なので繰り返させて頂きます。 まずは、「時間」を厳守することを考えましょう。 模試や過去問を解く時にも、必ず時間配分は意識するべきです。 自分の得意不得意に合わせて、ぜひ決めてみて下さい。
B. 全ての問題に目を通す
解いてみて気が付いたことは、(1)が解けなかったとしても(2)・(3)が解けるように作られている問題もあるということです。 もちろんドミノ倒しのように全てが連鎖的に間違ってしまう問題もありますが、もし最初の方でつまずいてしまったとしても、きちんと全ての問題に目を通し、1問でも多く取れるように粘ってみることが大事です。
C. 見直しの時間は取る！
必ず見直しの時間は取って下さい。 2021年度共通テストでは484,114人の受験者がいたそうです。 当たり前ですが、どこの大学の入試よりも受験者数が多く、たった1問間違えただけで、1,000人単位で順位が下がるという話も聞いたことがあります。 ミスがないように細心の注意を払って下さい。
4. 各大問の対策と試験勉強
冒頭の方で、問題の解法を理解すると書きました。 数学は難易度が上がるにつれ、パターン問題が増えてきます。 その手順を丸覚えするのではなく、どういう時にその公式を使っているのか考えることをオススメします。 各大問に触れながら具体的に説明していきます。
A. 大問１（三角関数・指数関数/対数関数）
なぜ合成をするの？
2021年度の共通テスト１問目は、三角関数の合成問題でした。 質問です。 皆さんはどんなときに三角関数を合成したいと思いますか？ 私は三角関数のyの範囲を知りたいのに、変数が2つあって分かりにくい時に三角関数の合成をしたいと考えます。
例えば、y＝sinθ＋√３cosθの形のままではθの変化に対する関数値の変化がわかりにくいですが、y＝2sin（θ＋π/3）と合成すると関数の値の変化がわかりやすくなります。 最大値や最小値も、下の図のように考えると判断しやすいですのでオススメです。
三角関数合成式の最大値と最小値
指数関数・対数関数
f(x)=(2^x＋２^(-x))/2、g(x)=(2^x ー２^(-x))/2はとても有名な関数です。 グラフの形は覚えておくべきです。 特にf(x) のグラフは線対称であること、g(x)のグラフは点対称であることを知っておきましょう。
また、長い文章の問題には誘導がつきものです。 ぱっと見で的確な解法が思い付くならば必要ないですが、ヒントを読み落とさないようにすることが大切です。
B. 大問2（微分法と積分法）
グラフを描くことの大切さ
私は、1次関数、2次関数、3次関数の問題では必ずグラフを描くようにしていました。 すると、問題が視覚的にイメージできるようになり、出した答えに自信を持つことが出来ます。 答えが正なのか負なのか、交点に対してどちら側にあるか、を確かめるだけでも、テスト中の安心感が全く異なります。
そして、今回の問題では、普段から関数をグラフに変換している人からすれば、容易に解ける問題であったように思います。
まず、2次関数ならばチェックするべきは以下の通りです。
● 上に凸なのか下に凸なのか
● 中心軸が正なのか負なのか
● 頂点のおおよその位置はどこなのか
● y軸との交点はどこか（原点は通るのか）
3次関数ならば、チェックするべきは以下の通りです。
● 変曲点の左右どちらが上に凸なのか
● 重解はあるのか、いくつあるのか
● 極大値、極小値の値
● y軸との交点はどこか
● x軸との交点は正なのか負なのか
漏れがあるかもしれませんが、私の思いつく限りではこんな感じです。 そして、これらの情報がy＝ax^3＋bx^２＋cx＋d と与えられた時に、どこの係数で求められるかということを把握しておいて下さい。
例えば、2021年の「ツ」の問題では、y軸との交点における接線を調べるためにはcとdだけに注目しておけば良い、などというようにです。
C .大問4（数列）
数列は、毎年のように出題されている範囲です。 確実に得点源に出来るようにしたいところです。
数列の特徴
数列に苦手意識がある方はいらっしゃるでしょうか？ 私の場合、a、b、r、nといったアルファベットを多く用いる数列は、何から手をつければいいのか分からなくなって苦手意識があったことをよく覚えています。
数列は、最後の解き方がパターン化されていることが特徴です。 数列の和や一般項の求め方など公式が様々あると思いますが、知らない数式を自分が公式を使える形に変形しにいくのがポイントです。 様々な問題のパターンを解いていくと、慣れていきます。
2021年の問題では
変形の一つの手段として、例えば等差数列であれば、a_(n＋１)＝a_n＋d（dは公差）、等比数列であればb_(n＋１)＝b_n・r というようにどんどん置き換えていきます。
今回の問題のように、全ての項にb_(n＋１)もしくはb_nが入っているときは、誘導を見なくともb_nで割りたくなる問題です。 もし分からなかったとしても解き方の誘導がついていますので、丁寧に追っていけば解けるはずです。
D .大問5（ベクトル）
計算ミスに注意
ベクトル問題の関門の一つは、計算の煩雑さです。 2021年度の問題でも、根号を用いた計算や二乗をさせる場面がたくさん出てきました。 日頃から計算の練習をしておき、本番でミスが無いようにしましょう。
共通テスト【数学Ⅰ・A】解法 & 勉強方法
受験生の皆さん、こんにちは！ 仙台市の『名門進学会』家庭教師で東北大学医学部医学科3年の 金子 茉央（かねこ まお）です
今日は、大学入試共通テスト【数学I・A】の、高得点を取れる「解法」&「勉強法」をお話し致します。
1. 出題形式
大問5題構成。
第1問、第2問は必答。第3~5問はいずれか2問を選択して解答する。
時間70分、満点100点。
2. 試験の解き進め方
全ての試験について言えることですが、テスト中に一番守らなくてはならないもの、それは「時間」です。 大問5題なので、私は各大問につき最大15分ずつ割り振っていました。 第1問と第2問は比較的典型問題なのでなるべく早く解くようにし、たまに捻った問題の出る第３〜５問に時間を割くようにしていました。
Ⅰ. 必ず見直しの時間を
そして忘れてはならないのは、見直しの時間です！ 共通テストの何より恐ろしいところは、ミスをしてしまうとその問題を解ける人が一定数いるために差をつけられてしまうところです。 特に、本番の極限に緊張した環境では何が起こるか分かりません。 必ず見直しの時間は取って下さい。
Ⅱ. ミスをしにくい問題を選択
皆さんは、選択問題何を選んでいますか？ 選び方の基準は、問題の好み、得意なもの、ぱっと見の解きやすさなど色々あると思いますが、私は基本的に整数の性質と図形の性質を選んでいました。 なぜならば、答えを出したときにミスをしていない確信が持ちやすいからです。
もちろん、問題の種類によっては確率を選ぶこともありましたが、ミスを減らすべく選択問題を選ぶようになってからは、大分数学の正答率が上がっていきました。 ここら辺の判断基準については、また後ほど書きます。
3. 各大問の対策と試験勉強
私は、共通テストの数学は、公式の典型的な使い方を如何に正しく理解しているかが鍵だと思っています。 点数が取れないとき、やるべきことは過去問や予想問題の解説を読み、問題と対応させることです。
どういう条件が出ているときにどういう公式を使っていくのかがおおよその流れがあって、問題の中できちんと誘導されていることに気付くはずです。 以下では各大問についてお伝えしていきます。
A. 大問1（数と式、二次関数、図形と計量）
二次方程式のポイント
まず、二次方程式についてです。 二次方程式を解くコツは、余計な係数を省いてグラフをシンプルに見てグラフの形をイメージすることです。「Y＝Ax²＋Bx＋C」＊の形になっているはずです。 2021年の問題では2x²＋(4c-3)x＋2c²―c―11＝0という問題が出ましたが、この場合もA＝2、B＝4c-3、C=2c2―c―11と見なすことができます。
以下のルールを
今回の問題でもありましたが、cにある値を代入することは、＊のグラフの係数を変化させていることに過ぎません。 係数が変わることは、グラフが平行移動していることに過ぎません。 これを理解するには、以下のルールをぜひ覚えて下さい。
● A＞０なら下に凸（逆は逆）。 Aはグラフの形を決める。
● B/A＞０ならグラフの軸は負の領域（逆は逆）。 Bが変化するとグラフはx軸方向に平行移動する。
● C＞０ならy切片は正（逆は逆）。 Cが変化するとグラフはy軸方向に平行移動する。
これらのルールは、恐らく二次方程式を習ったころに言われたことだと思います。 当たり前のことだと思われるかも知れませんが、この情報さえあればy―xグラフのおおよその位置や動きが把握できます。 そして、求めた答えが大体あっているか視覚的に確認出来ることにより、ミスを減らし自信を持って次の問題に進むことが出来ます。
図形問題のポイント
次に、図形の問題です。 2021年の問題は正方形や三角形の面積をcosθやsinθの公式に絡めて解くという面白い問題でした。 図形の問題は、まずわかる限りの情報（角度や辺の長さ）を図の中に書き込んでください。 その上で、初めて問題を解き始めます。
（3）の問題を例に取ると
2021年（3）の問題を例に取ってみると、△AIDの面積＝1/2ac・sin（180-B）＝1/2ac・sinB＝△ABCの面積となります。 同様に他の三角形も求めていくと、結局△ABCの面積に行き着くという問題でしたが、きちんと情報を書き込んでいくことで三角形の面積を迷わずに導き出すことが出来ます。
（2）・（4）の問題は
また、（2）・（4）の問題は、三角関数の公式に注目します。（2）の問題では、cos A＝(b²＋c²ーa²)/2bc の余弦定理に注目すると、Aが鋭角か否かによって面積の大小関係が定まることが分かりますし、（4）では外接円の半径が２r＝a/sinAで求められることに気づけば苦労せずに問題を解くことが出来ます。
思考力問題に対応するために
共通テストは、思考力が問われるテストと言われています。 通り一遍の解き方で問題に取り組んでいても解けない問題が、これから先出てくるかもしれません。
Ⅰ. 色々な解き方を知っておく
私は、学校の授業の一環で、典型問題と言われる易しい問題をなるべく多くの別解を用いて解くということをしていました。 一つの問題を解く際に別解を知っていると言うことは、その問題を色々な視点から見ることが出来ると言うことです。 すこぶる煩雑で時間を浪費してしまう解き方もあれば、魔法のように一瞬で答えが導き出せる解き方もあります。
Ⅱ. 最良のアプローチをする
受験は、時間との勝負です。 毎回煩雑な解き方をしていれば解き終わらないし、一方で魔法の解き方は使える場合が限られていることが多いです。 そこで、どちらも知っていることが求められます。 自分の知っているアプローチの中からもっとも賢い解き方を選択し、煮詰まった時に最終手段として煩雑な解き方を持っていることが理想です。
もちろん言うは易しなので、そう簡単に問題を達観することはできませんが、余裕がある時に別解を知っておこうとする努力は大切です。 私は、模試の問題で解けた問題であっても一応解説に一通り目を通すようにしていました。
B. 大問2（二次関数、データの分析）
新規単位は定義を確認
2021年度の問題では、タイム・ピッチ・ストライドと言う見慣れない単位が出てきました。 しかし、見慣れない言葉に出会っても焦らず落ち着いて考えることが大事です。 私は、新しく単位を認識する時、必ずその単位を定義する式を確認します。
今回であれば、ストライド（m/歩）：一歩で何m進めるのか、ピッチ（歩/秒）：1秒で何歩歩けるのか、です。 こうやって単位について自分の頭を整理しておくと、その後に考えさせられる平均速度：1秒に何m進めるのかについても、自然とストライドとピッチを掛け算すれば良いと考えられます。
データ分析は慣れ
まずは、最低限の知識を入れることです。 過去問をいくつか見てみると、自ずと知っておくべきデータの値が分かってくると思います。 私は、この範囲に苦手意識を持っていて模試を解くたびに何かしらの間違いをしていましたが、繰り返し問題に触れるうちに、丁寧に数えてグラフを対応させていけば必ず解けること、そしてパターン問題が多いことに気づきました。
丁寧に解けば解けると言いましたが、これは時間制限のある共通テストですので、いかにこの範囲に時間を割けるかも課題です。
C. 大問3（場合の数と確率）
誘導に乗ること
2021年は、条件付き確率の問題でした。 問題自体は典型問題で、難易度は高くないですが、ポイントは問題の誘導に如何にきちんと乗ることが出来るかです。 会話文の中で作問者が解答者に考えさせたいことを理解して、丁寧に解いていきましょう。 そして、これはチャンスでもあります。
誘導があるということは、普段の考え方とは別の解き方をさせたいと言うことです。 それは、普段の解き方でも解けばもれなく確かめ算をすることになり、答えが一致したら安心して次の問題に進むことが出来ます。
全体の事象の意識
私は、確率や場合の数は、全体の事象を意識して解くようにしていました。 具体的に言うと、確率であれば各事象を足したら1になることであり、場合の数であれば全ての事象を書き出すと言うことです。 もちろん時間のかかる方法ですので最初は普通に解きますが、残りの事象を把握しておくと答えへの自信に繋がります。
D. 大問4（整数の性質）
選択問題としておすすめ
基本的に典型問題が多く、問題文では様々なゲームが提示されつつも、一次不定方程式の整数解を導く問題となることが多いです。 不定方程式を満たす数字を調べること、xとyの一般式を出すこと、xとyの解の範囲に注意することが出来れば、大体の問題は誘導に乗って解いていけるはずです。 大きい値になった時には、計算ミスには注意して下さい。
比較的解きやすくミスも生じにくい上、方程式に当てはめて計算すれば確かめ算も出来るので、私はこの大問を選ぶことが多かったです。
E. 大問5（図形の性質）
完答が難しい
図形は、得意不得意分かれるところだと思います。 個人的な感想としては、テスト中の緊張感の中では気付くべきことに気付けず完答が難しかったので、選択することは少なかったです。
図は正確に
図形問題対策としては２つあります。１つ目は図を正確に書くことです。 長さの大小のみならず角度も鋭角、鈍角、直角いずれなのか正確に書きます。 特に、有名な直角三角形は必ず覚えて下さい。 直角であることに気づけるか否かは、正答率を大きく左右します。
公式の用い方を
問われ方に対する公式の用い方をきっちり把握しておくことは、とても大事なことです。 例えば、4つの点が円上にあることを示すには？と聞かれたら、方べきの定理の逆か円周角の定理の逆を使えばいいのだなというようにです。
図形上に情報は無限にありますが、使うべき公式は限られています。 公式のアテを初めにつけることが出来れば、図形問題は大分解きやすくなります。
